クロネッカーのデルタ

クロネッカーのデルタ 

　　　　　　　　δij　= 1 (i =j),  =0 (i ≠j)

は、線型代数やテンソルなどでおなじみである。しかしながら、原典が何かとなるとはっきり書いてあるものを見ない。

Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics　は数学用語の初出を調べるには便利なサイトである。しかし、KRONECKER DELTA の項目には

The term KRONECKER DELTA is found in 1926 in Riemannian Geometry by Luther Pfahler Eisenhard: "These are called the Kronecker deltas and are used frequently throughout this work." The term is used because Kronecker used the construction in his lectures. [Joanne M. Despres of Merriam-Webster Inc.]

とあるだけである。

クロネッカーの原論文

レオポルト・クロネッカー（Leopold Kronecker) の全集（全5巻、第3巻は2分冊）をざっとあさると1882年の

Leopold Kronecker, "Die Subdeterminanten symmetrischer Systeme",
Monatsberichte der Königlichen Preussische Akademie des Wissenschaften zu Berlin (1882), 821--824 (Werke v.2, p.391)

に，今で言うクロネッカー・デルタそのものが使われていることが見て取れる：

他にも、1890年の論文 "Über orthogonale Systeme" でも使っている（Werke v.3-1, p.373）。すでにリンクさせているが、クロネッカー全集は弟子の一人であるクルト・ヘンゼル（Kurt Hensel）によって編集されており、全5巻をオンラインで読むことが出来る。

クロネッカー以前に、同様の記号を考えた人がいないのかどうかまでは分からない。線型代数の歴史は17世紀頃から、日本の関孝和、ライプニッツらによる行列式の話に遡ることができるが、実質的に行列式の理論ができていったのは18世紀以降であろう。さらに、連立一次方程式の係数をひとまとめにして「行列」と見ることが出来るようになったのは19世紀半ばからである。

クロネッカー以前の線型代数

線型代数の話の中で「Matrix」（母なるものなどの意味）という用語を最初に用いたのは Joseph Sylvester で1850年である：

"Addition to the Articles, 'On a New Class of Theorems,' and 'On Pascal's Theorem.'" Philosophical Magazine 37 (1850): 363-370. (The collected mathematical papers of James Joseph Sylvester, v.1, p.150)

シルベスターの仕事の中で「行列」はいくつか表われているが、本格的に行列論を展開したのは

Arthur Cayleyである：

"A Memoir on the Theory of Matrices",
Philosophical Transactions of the Royal Society of London,  148 (1858), pp. 17--37 (The collected mathematical papers of Arthur Cayley， v.II p.475)

この論文の中で、今で言うHamilton-Cayleyの定理が証明抜きで述べられている:

   I have not thought it necessary to undertake the labour of a formal proof of the theorem 

in the general case of a matrix of any degree.

は名言？であろう。しかし、おそらく大陸の数学者たちはこのケイリーの仕事の多くはEisensteinやHermitの2次形式の理論などの形ですでに知っていたと思われ（Hamilton-Cayleyの定理はのぞく）、証明抜きのケイリーのスタイルはすぐには大きな影響をおよぼさなかったようである。

むしろ、独自に行列の理論を展開したものとして、

E. Laguerre,  Sur le calcul des systèmes linéaires (Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite) J. École Poly, T25, C. XLII, 215-264; 1867.

G. Frobenius,  "Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen" Crelle J. 84 (1877), 1-63.

等がある。ガロア理論の解説書

C.Jordan Traité des substitutions et des équations algébriques (1870)

にも行列の理論が少し解説されている。

クロネッカーが、彼の名前をつけたクロネッカー・デルタを用いた1882年ごろは、ようやく行列の理論が整備された頃で、クロネッカー以前に同様の記号を用いた人はあまりいなかったかもしれない。

クロネッカー以後

L. P. Eisenhard の"Riemannian Geometry"(1926)を見ると確かに2ページに Kronecker deltas が表われている。他にも  Oswald Veblen の"Invariants of Quadratic Differential Forms"  (1927) の3ページにも Kronecker deltas という言葉が使われており，この時期すでに一般的な用語であったことが推測できる。おそらく、線型代数だけではなく、不変式論や微分幾何などで普通に使われていたと思われる。残念ながら、誰がいつ頃から Kronecker delta と言い始めたのか、私には分からない。